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4.已知函數(shù)f(x)=kxx2+3k(k>0).
(1)若f(x)>m的解集為{x|x<-3或x>-2},求不等式5mx2+k2x+3>0的解集;
(2)若存在x>3使得f(x)>1成立,求k的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)f(x)>m的解集為{x|x<-3或x>-2},可得 f(-3)=m,f(-2)=m,求得m、k的值,從而求得不等式5mx2+k2x+3>0的解集.
(2)由題意可得k>x2x3在(3,+∞)上能成立,故k大于g(x)=x2x3的最小值.再利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)的最小值,可得k的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=kxx2+3k(k>0),f(x)>m的解集為{x|x<-3或x>-2},
∴f(-3)=m,f(-2)=m,即 3k9+3k=m,且 2k4+3k=m,求得k=2,m=-25,
故不等式5mx2+k2x+3>0,即 不等式-2x2+x+3>0,即 2x2-x-3<0,求得-1<x<32,
故不等式的解集為{x|-1<x<32 }.
(2)∵存在x>3使得f(x)>1成立,∴kxx2+3k>1在(3,+∞)上有解,
即x2-kx+3k<0在(3,+∞)上有解,k>x2x3在(3,+∞)上能成立,
故k大于g(x)=x2x3的最小值.
∵g′(x)=xx6x32,∴在(3,6)上,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);
在(6,+∞)上,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),故g(x)的最小值為g(6)=12,∴k>12.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解集與方程的根的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的能成立問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,屬于中檔題.

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