Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為，以定點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的各個(gè)表面相交所得到的弧長(zhǎng)之和為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識(shí)能求出這兩段弧的長(zhǎng)度之和，從而求出球面與正方體的各個(gè)表面相交所得到的弧長(zhǎng)之和．
解答：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)锳E=2，AA₁=，
則∠A₁AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，
故弧EF的長(zhǎng)為：2×=，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為1，∠FBG=，
所以弧FG的長(zhǎng)為：=．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長(zhǎng)為：
3×=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了立體幾何，以及弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，同時(shí)考查了空間想象能力，屬于中檔題．