Question

已知橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=2，過E₁上第一象限上一點(diǎn)P作E₁的切線，交于E₂于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）已知x²+y²=r²上一點(diǎn)P（x₀，y₀），則過點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線方程為xx₀+yy₀=r²．類比此結(jié)論，寫出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1在其上一點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線方程，并證明；
（Ⅱ）求證：|AP|=|BP|．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）切線方程

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，利用導(dǎo)數(shù)法求斜率，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）

x0x

a2

+

y0y

b2

=1與

x2

a2

+

y2

b2

=2聯(lián)立，利用韋達(dá)定理證明P為A，B中點(diǎn)，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：切線方程

x0x

a2

+

y0y

b2

=1
在第一象限內(nèi)，由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y=

b

a

a2-x2

-------------（2分）
橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率k=-

b2x0

a2y0

----------------（4分）
切線方程為y=-

b2x0

a2y0

（x-x₀）+y₀，即

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．----------------（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x0x

a2

+

y0y

b2

=1與

x2

a2

+

y2

b2

=2聯(lián)立可得（b2+

x02b4

y02a2

）x²-

2x0b4

y02

x+

a2b4

y02

-2a²b²=0---------------（9分）
所以

1

2

（x₁+x₂）=

1

2

•

2x0b4 y02

b2+ x02b4 y02a2

=x₀，
所以P為A，B中點(diǎn)，所以|AP|=|BP|．---------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查：圓錐曲線的綜合，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．