設(shè)命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立,命題Q:函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù),若P且Q為真,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:由題設(shè)知x1+x2=a且x1+x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x22-4x1x2=a2+8≤3,由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此知當(dāng)m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí),P是正確的.
要使函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù),則△=(m-2)2-16≥0,∴m≥6或m≤-2,再利用P且Q為真,故問題得解.
解答:解:由題設(shè)知x1+x2=a且x1+x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x22-4x1x2=a2+8,當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),a2+8的最大值為9,
即|x1-x2|≤3
由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m2-5m-3≤-3①或m2-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5不等式②的解為m≤1或m≥6因?yàn),?duì)m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí),P是正確的.
函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù),則△=(m-2)2-16≥0,∴m≥6或m≤-2
∵P且Q為真,∴m≥6或m≤-2
點(diǎn)評(píng):本題考查命題真假的判斷的應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用.
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