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3.已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an2=2an-12+1;
(1)求證:{an2+1}是等比數(shù)列;
(2)令bn=2nan+an+1,且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求Sn•(Sn+2)的值.

分析 (1)將等式兩邊加1,再由等比數(shù)列的定義,即可得證;
(2)運用等比數(shù)列的通項公式,可得an=2n1,即有bn=2nan+an+1=2n2n1+2n+11=2n+11-2n1,再由數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,即可得到所求和,進而得到所求

解答 解:(1)證明:an2=2an-12+1,可得an2+1=2(an-12+1),
即有{an2+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列;
(2)由等比數(shù)列的通項公式可得an2+1=2n,
可得an=2n1,
即有bn=2nan+an+1=2n2n1+2n+11
=2n+112n12n1+2n+11=2n+11-2n1
則Sn=221-21+231-221+241-231+…+2n+11-2n1
=2n+11-1,
則Sn•(Sn+2)=(2n+11-1)(2n+11+1)=2n+1-2.

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式,注意運用構(gòu)造法,考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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