Question

【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，左頂點(diǎn)為，上、下焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形.

（1）若點(diǎn)在橢圓上，且為銳角，求的取值范圍；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形可求得，進(jìn)而可得橢圓的方程；根據(jù)為銳角，可得且與不共線，進(jìn)而得到，利用橢圓方程可化為，解不等式，結(jié)合橢圓的范圍及可得到結(jié)果；

（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)垂直關(guān)系可得，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可表示為符合韋達(dá)定理的式子，代入可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.

（1）設(shè)橢圓，則，，

，

是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形

即， 橢圓

，

為銳角 且與不共線

在橢圓上 ，即

解得：或

又 的取值范圍為

（2）由題意知，直線斜率存在，設(shè)方程為：

代入橢圓方程中得：

設(shè)，，則，

即

，解得：

直線的方程為：