Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+

π

4

)(ω＞0)，y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
（Ⅰ）求f（x） 的解析式；
（Ⅱ）求f（x）對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)的最大值為2和三角函數(shù)的周期公式，算出ω=2，從而求出f（x） 的解析式；
（II）由（I）所得的函數(shù)表達式，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對稱軸方程的結(jié)論，即得函數(shù)的對稱軸方程和單調(diào)增區(qū)間；
（III）當x∈[-

π

4

，

π

2

]時，可得2x+

π

4

∈[-

π

4

，

5π

4

]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin(ωx+

π

4

)的最大值為2，且函數(shù)圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
∴函數(shù)的最小正周期T=π，可得ω=

2π

T

=2，
∴函數(shù)的解析式為：f(x)=2sin(2x+

π

4

)…（4分）
（Ⅱ）令2x+2kπ=

π

2

+kπ，k∈Z，得x=

π

8

+

kπ

2

．
∴f（x）的對稱軸方程：x=

π

8

+

kπ

2

，k∈Z…（6分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）…（8分）
（Ⅲ）∵-

π

4

≤x≤

π

2

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，可得-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1…（10分）
當2x+

π

4

=-

π

4

時，即x=-

π

4

時，f（x）有最小值為-

2

；
當2x+

π

4

=

π

2

時，即x=

π

8

時，f（x）有最大值為2．

點評：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的最值，著重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識、復合三角函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．