Question

【題目】已知數(shù)列，的首項，且滿足，，其中，設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，．

（Ⅰ）若不等式對一切恒成立，求．

（Ⅱ）若常數(shù)且對任意的，恒有，求的值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下且同時滿足以下兩個條件：

（�。┤舸嬖谖ㄒ徽�整數(shù)的值滿足；

（ⅱ）恒成立．試問：是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整數(shù)，使得，此時，或者．

【解析】分析：（1）根據(jù)可得是公差的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的求和公式即可得出；（2）用表示出和，根據(jù)的范圍及恒等式得出，可得，從而可得結(jié)果；（3）利用條件可得，的通項，求出，，因為，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，根據(jù)分類討論思想可得出的存在性.

詳解：（Ⅰ）由題設(shè)數(shù)列的首項，公差為，則，

（Ⅱ）因為，，所以，

，故，又因為，

得，所以，

因為，

所以，所以，

故．

（Ⅲ）因為，所以或者，

若時，舍去，

若時，，故，

而，因為，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，

①當(dāng)，若，則數(shù)列前為：，，，滿足，

若，則數(shù)列前項為：，，，不滿足舍去；

若，則數(shù)列前項為：，，，不滿足舍去；

若，則數(shù)列前項為：，，，不滿足舍去；

②當(dāng)若，則數(shù)列前項為：，，不滿足；

若，則數(shù)列前項為：，，不滿足舍去；

③當(dāng)，若，則數(shù)列前項為：，滿足；

若，則數(shù)列前項為：，不滿足舍去；

所以存在正整數(shù)，使得，此時，或者．