Question

9．設(shè)A，B是函數(shù)f（x）定義域集合的兩個(gè)子集，如果對任意x_l∈A，都存在x₂∈B，使得f（x₁）f（x₂）=l，則稱函數(shù)f（x）為定義在集合A，B上的“倒函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=x²-$\frac{2}{3}$ ax³（a＞0），x∈R為定義在A=（2，+∞），B=（1，+∞）兩個(gè)集合上的“倒函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （0，$\frac{3}{4}]$
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{3}{4}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 先將f（x）的單調(diào)性分析出，找到極大極小值，由此找到f（x₁）和f（x₂）的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)換為兩集合的包含關(guān)系，再分類討論即可．

解答 解：∵f（x）=x²-$\frac{2}{3}$ ax³（a＞0），
∴f′（x）=2x-2ax²，
則由f′（x）＞0得到函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$） 減區(qū)間為（-∞，0）、（$\frac{1}{a}$，+∞），
則f（x）_極小值=f（0）=0，f（x）_極大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{3{a}^{2}}$，
由此可知f（x）的圖象，
設(shè)集合M={f（x）|x∈（2，+∞）}，N={$\frac{1}{f（x）}$|x∈（1，+∞）}，
則對任意x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）
使得f（x₁）f（x₂）=l，
等價(jià)于M⊆N，顯然0∉N．
①當(dāng)$\frac{3}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，0∈M，不滿足M⊆N；
②當(dāng)1≤$\frac{3}{2a}$≤2，即$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）≤0，M=（-∞，f（2））⊆（-∞，0），
由于f（1）=$\frac{3-2a}{3}$≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范圍包含在（-∞，0）內(nèi)滿足M⊆N；
③當(dāng)$\frac{3}{2a}$＜1，即a＞$\frac{3}{2}$，有f（1）＜0，f（x）在（1，+∞）上單減，
∴B=（$\frac{1}{f（x）}$，0），A=（0，f（2））不滿足M⊆N，
綜上可知a∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查由導(dǎo)函數(shù)尋找f（x）的極大極小值，由此找到f（x₁）和f（x₂）的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)換為兩集合的包含關(guān)系，再分類討論即可．