Question

2．已知$A（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一點(diǎn)，橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 過點(diǎn)P（0，3）的直線m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），由A是PB的中點(diǎn)，得B（2x₁，2y₁-3）．把A，B坐標(biāo)代入橢圓方程可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{{{{（2{x_1}）}^2}}}{4}+\frac{{{{（2{y_1}-3）}^2}}}{3}=1\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），由A是PB的中點(diǎn)，得B（2x₁，2y₁-3）．
∵A，B在橢圓上，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{{{{（2{x_1}）}^2}}}{4}+\frac{{{{（2{y_1}-3）}^2}}}{3}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=±1\\{y_1}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴直線m的斜率$k=±\frac{3}{2}$．
∴直線的方程$y=±\frac{3}{2}x+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．