拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為( )
A.
B.p2
C.2p2
D.4p2
【答案】分析:法一:直接計算比較復(fù)雜,我們可以取幾個特殊的位置,可得解.
法二:由于若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上,且△PAB為直角三角型,且角P為直角.又面積是直角邊積的一半,斜邊是兩直角邊的平方和,故可求.
解答:解:法一:取傾斜角為:45,60,90,經(jīng)計算可知,當(dāng)傾斜角為90時,△ABQ的面積的最小,此時AB=2p,又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=p,此時三角形的面積最小為p2故選B.
法二:由于若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上,且△PAB為直角三角型,且角P為直角.,由于AB是通徑時,AB最小,故選B.
點(diǎn)評:本題作為選擇題,采用特殊法,簡單易行.由特殊求解一般性結(jié)論是解答選擇題的一種很好的方法.△PAB稱作阿基米德三角型.該三角形滿足以下特性:1、P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;2、△PAB為直角三角型,且角P為直角;3、PF⊥AB(即符合射影定理)等.靈活利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為阿基米德三角形,則△ABQ為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為(  )
A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黃岡模擬 題型:單選題

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為( 。
A.
p2
2
B.p2C.2p2D.4p2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年重慶市重點(diǎn)高中高考數(shù)學(xué)模擬試卷9(解析版) 題型:選擇題

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點(diǎn),則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0),弦AB過焦點(diǎn),△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為( )
A.
B.p2
C.2p2
D.4p2

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