Question

已知f（x）=ke^x-ex²（x∈R，）其中無理數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若k=1，求f（x）的圖象在x=1處的切線l的方程；
（2）若f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x₁，x₁′，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若k依序取值1，

4

3

，…，

2n

n+1

（n∈N^*）時，分別得到f（x）的極值點(diǎn)對（x₁，x₁′），（x₂，x₂′），…（x_n，x_n′），其中x_i＜x_i′（i=1，2，…，n），求證：對任意正整數(shù)n≥2，有（2-x₁）（2-x₂）…（2-x_n）＜

1

x1x2…xn

=

n+1

e(x1+x2…xn-n)

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x₁，x₁′，則f′（x）=0有兩個不相等的實(shí)根．即有k=

2ex

ex

有兩解，令g（x）=

2ex

ex

，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出極值、最值，即可得到k的范圍；
（3）運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，得到x_i∈（0，1），再由基本不等式證得0＜x_i（2-x_i）＜（

xi+2-xi

2

）²=1，再由累乘法即可證得原不等式成立．

解答： （1）解：k=1時，f（x）=e^x-ex²，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2ex，
則f（x）在x=1處的切線斜率為e-2e=-e，切點(diǎn)為（1，0），
則切線方程為：y=-e（x-1）即為ex+y-1=0；
（2）解：f（x）=ke^x-ex²（x∈R）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ke^x-2ex，
由于f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x₁，x₁′，則f′（x）=0有兩個不相等的實(shí)根．
即有k=

2ex

ex

有兩解，
令g（x）=

2ex

ex

，g′（x）=

2e(1-x)

ex

，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，當(dāng)x＜1時，g′（x）＞0，
則有g(shù)（x）在x=1處取得極大值，且為最大值，即為2．
且x→+∞，g（x）→0，
則有0＜k＜2；
（3）證明：由f′（x）=ke^x-2ex=0，
可得，ke^x=2ex，k=

2n

n+1

，
由于f′（0）=k＞0，f′（1）=ke-2e＜0，
則極值點(diǎn)x_i∈（0，1）．
由于0＜x_i（2-x_i）＜（

xi+2-xi

2

）²=1，
則有x₁（2-x₁）•x₂（2-x₂）•…•x_n（2-x_n）＜1，
即有（2-x₁）（2-x₂）…（2-x_n）＜

1

x1x2…xn

，
又1•ex1=2ex₁，

4

3

ex2=2ex₂，

6

4

ex3=2ex₃，…，

2n

n+1

exn=2ex_n，
相乘，可得，

1

n+1

ex1+x2+…+xn=eⁿ•x₁x₂…x_n，
則有

1

x1x2…xn

=

n+1

e(x1+x2…xn-n)

．
則原不等式成立．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查基本不等式的運(yùn)用，累乘法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．