Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)O，C₁和C₂有公共焦點(diǎn)F，點(diǎn)F在x軸正半軸上，且C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及點(diǎn)F到C₁右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當(dāng)C₂的準(zhǔn)線與C₁右準(zhǔn)線間的距離為15時(shí)，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點(diǎn)，交C₂于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得到a=2c，再求出C₁的右準(zhǔn)線方程、C₂的準(zhǔn)線方程，根據(jù)C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及點(diǎn)F到C₁右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直線l的方程，然后設(shè)M、N、P、Q四點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程進(jìn)而得到兩根之和、兩根之積再由可求出c的值，最后聯(lián)立直線和拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，同樣可得到兩根之和根據(jù)是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)C₁：（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0）．則C₂：y²=4cx．
由條件知，得a=2c．C₁的右準(zhǔn)線方程為，即x=4c．C₂的準(zhǔn)線方程為x=-c．
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，．
從而C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設(shè)知l：y=x-c，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由（Ⅰ）知，即3x²+4y²=12c²．
由，知x₃，x₄滿足7x²-8cx-8c²=0，
從而．
由條件，得，故C₂：y²=6x．
由得，所以x₁+x₂=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是每年的重頭戲，一般作為壓軸題出現(xiàn)，要想答對(duì)必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，多做練習(xí)．