Question

等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₅=b₃，設(shè)c_n=a_n•b_n，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列中a_n=1+（n-1）d；
等比數(shù)列中 b_n=q^n-1；
∴a₂=1+d=b₂=q；
a₅=1+4d=q²=（1+d）²；
得出d（d-2）=0；
因?yàn)閍₂=b₂≠1，，所以d=2，q=3；
a_n =2n-1；b_n=3^n-1
所以 c_n=（2n-1）3^n-1；
（2）S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•3⁰+3•3¹+5•3²+…+（2n-1）3^n-1
3S_n=1•3¹+3•3²+5•3³+…+（2n-1）3ⁿ
3S_n-S_n=-1-2•3¹-2•3²-…-2•3^n-1+（2n-1）3ⁿ
=-1-+（2n-1）3ⁿ
=（2n-2）3ⁿ+2
S_n=（n-1）3ⁿ+1．
分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意求出公差與公比，求出a_n的通項(xiàng)公式與b_n的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果．
（2）列出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與求和技巧．