Question

如圖，反比例函數(shù)y=f（x）（x＞0）的圖象過點(diǎn)A（1，4）和B（4，1），點(diǎn)P（x，y）為該函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為C、D．記四邊形OCPD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與三角形OAB的公共部分面積為S．
（1）求S關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）求S的最大值及此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象求得反比例函數(shù)模型，由題設(shè)，得f(x)=

4

x

（x＞0），再分x≤1時(shí)，1＜x＜4時(shí)，x≥4時(shí)三種情況求得其面積建立模型．
（2）根據(jù)（1）函數(shù)是分段函數(shù)每一段根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)取得取大值，然后從中取最大的，作為原函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）由題設(shè)，得f(x)=

4

x

（x＞0），（2分）
當(dāng)x≤1時(shí)，S=

15

8

x2，
當(dāng)1＜x＜4時(shí)，S=4-

x2

8

-

2

x2

，
當(dāng)x≥4時(shí)，S=

30

x2

，
故S=

15 8 x2 x≤1 4- x2 8 - 2 x2 1＜x＜4 30 x2 x≥4

（8分）
（2）易知當(dāng)x≤1時(shí)，S=

15

8

x2為單調(diào)遞增函數(shù)，S≤

15

8

，（10分）
當(dāng)x≥4時(shí)，S=

30

x2

為單調(diào)遞減函數(shù)，S≤

15

8

，（12分）
當(dāng)1＜x＜4時(shí)，S=4-

x2

8

-

2

x2

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2，4）上單調(diào)遞減，得

15

8

＜S≤3，
故S的最大值為3，
此時(shí)x=2．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了分段函數(shù)求最值，基本思想是求每一段上取最大值，從中取最大的作為原函數(shù)的最大值．