Question

己知函數(shù)是f（x）圖象點(diǎn)的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P是M，N的中點(diǎn)．
（1）求證：y₁+y₂的定值；
（2）若，，T_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，當(dāng)T_n＜m（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立時(shí)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設(shè)，B_n為數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，證明：．

Answer 1

解：（1）由已知得，x₁+x₂=1
∴y₁+y₂==
==1
（2）由（1）知當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
①
②
①+②得，
當(dāng)n≥2時(shí)，=
又當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，故
故T_n==
∵T_n＜m（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立
即m＞=恒成立，
又=，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（，+∞）
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/65326.png' />，
所以
故B_n=
=
分析：（1）由已知得，x₁+x₂=1，由對(duì)數(shù)的計(jì)算公式代入可求結(jié)果；（2）由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，進(jìn)而可得a_n，Tn，下面由恒成立問(wèn)題的求法可得；（3）由前面的解答可得，代入可得b_n，由不等式的放縮法和裂項(xiàng)相消法可證．
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)與不等式的內(nèi)容，其中列項(xiàng)求和及不等式的放縮法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．