Question

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上兩個不同的動點(diǎn)，圓O的方程為x²+y²=a²．
（1）如圖，若向圓O內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在橢圓C的概率為

1

2

，橢圓C上的動 點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最近距離為2-

3

．橢圓C的面積為πab．
（i）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ii）若點(diǎn)B（0，1）且

QB

=

OP

，求直線OP的低斜率；
（2）若直線OP和OQ的斜率之積為

b2

a2

，請?zhí)近c(diǎn)M（x₁，x₂）與圓O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）（i）由已知得

πab πa2 = 1 2 a-c=2- 3

，又a²=b²+c²，由此能得到橢圓C的方程．
（ii）由

QB

=

OP

，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），所以

x1+x2=0 y1+y2=1

，結(jié)合圓的對稱性知點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對稱且PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

2

），由此能求出直線OP的斜率．
（2）設(shè)OP方程為y=kx，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x12=

a2b2

a2k2+b2

，由kOP•koQ=

b2

a2

，得x22=

a2b2

a2( b2 a2k )2+b2

=

a2k2

a2k2+b2

，所以x12+x22=

a2b2

a2k2+b2

+

a4k2

a2k2 +b2

=a²，由此知點(diǎn)M（x₁，x₂）在圓O：x²+y²=a²上．

解答：解：（1）（i）由已知得

πab πa2 = 1 2 a-c=2- 3

，又a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（ii）由

QB

=

OP

，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），
∴

x1+x2=0 y1+y2=1

，
結(jié)合圓的對稱性知點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對稱且PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

2

），
故直線PQ的方程為y=

1

2

，從而得p(±

3

，

1

2

)，
∴kOP=

1 2

± 3

=±

3

6

．
（2）由題意知直線OP的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx，
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理，得x12=

a2b2

a2k2+b2

①
由kOP•koQ=

b2

a2

，用

b2

a2k

代替①中的k，得
x22=

a2b2

a2( b2 a2k )2+b2

=

a2k2

a2k2+b2

，
∴x12+x22=

a2b2

a2k2+b2

+

a4k2

a2k2 +b2

=a²，
∴點(diǎn)M（x₁，x₂）在圓O：x²+y²=a²上．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．