如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點(diǎn)，A、B為兩個頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，
3
2
）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓的定義求出a，點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出b，即可求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）通過橢圓C的焦點(diǎn)F2，以及AB的平行線求出直線的斜率，設(shè)出PQ的方程，與橢圓聯(lián)立通過韋達(dá)定理利用寫出公式，求弦長|PQ|．
解答： 解：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，
將點(diǎn)（1，
3
2
）代入橢圓方程得 
1
22
+
(
3
2
)2
b2
=1，
解得b2=3
∴c2=a2-b2=4-3=1，故橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1，
焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0）
（2）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（0，
3
），∴kPQ=kAB=
3
2
，
∴PQ所在直線方程為y=
3
2
（x-1），
由 
y=
3
2
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
  得 2x2-2x-3=0，
設(shè)P （x1，y1），Q （x2，y2），則x1+x2=1，x1-x2=-
3
2
，
弦長|PQ|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
7
2
•
7
=
7
2
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a=log210，b=log315，c=log735，則（　　）
A、c＞a＞b
B、b＞c＞a
C、b＞a＞c
D、a＞b＞c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知離心率為
3
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)M（2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于OM的直線i交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記直線MB、MA與x軸的交點(diǎn)分別為P、Q，若MP斜率為k1，MQ斜率為k2，求k1+k2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為B(0，
3
)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
，直線l：y=x+1與橢圓交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦MN的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）離心率為
2
2
，且橢圓的長軸比焦距長2
2
-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M（0，-
1
3
）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
8
+
y2
b2
=1（b＞0）有一個內(nèi)含圓x2+y2=
8
3
，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M，N，且
OM
⊥
ON
（O為原點(diǎn)）．
（1）求b的值；
（2）設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B．求證：
OA
⊥
OB
，并求|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：定點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B是⊙F：（x-1）2+y2=8（F為圓心）上的動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)G，記點(diǎn)G的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)．在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得
MP
•
MQ
恒為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和這個常數(shù)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=x與直線l：y=kx+
3
4
，試問C上能否存在關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；
②f（x）=
2013-x2
+
x2-2013
既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中正確說法的序號是
 
．

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