Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，求此時(shí)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定義域?yàn)镽，證明f（-x）=f（x），確定函數(shù)為偶函數(shù)，從而證得函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義，設(shè)0＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化簡確定差的正負(fù)，從而證得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最大值，再根據(jù)函數(shù)的最大值為

5

2

，列出等式，即可求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），
∴f（x）的定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=a^-x+a^x=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖象的特征，
∴函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a^x₁+a^-x₂-（a^x_2-a^-x₁）=a^x₁-a^x₂+

ax2-ax1

ax1+x2

=（a^x₁-a^x₂）（1-

1

ax1+x2

），
∵0＜x₁＜x₂，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^x₁＞a^x₂，a^x₁+x₂＜1，
∴

1

ax1+x2

＞1，
∴1-

1

ax1+x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性遞增；
②當(dāng)a＞1時(shí)，a^x₁＜a^x₂，a^x₁+x₂＞1，
∴0＜

1

ax1+x2

＜1，
∴1-

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性遞增；
綜合①②，f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性遞增，
∴f（x）在[1，2]上的單調(diào)性遞增，
∴f（x）的最大值為f（2）=a²+a^-2，
∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，
∴a²+a^-2=

5

2

，解得a=

2

2

或a=

2

，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為

5

2

，此時(shí)a的值為

2

2

或

2

．

點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，在判斷奇偶性時(shí)一定要判斷定義域是否對稱，函數(shù)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對稱．考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．同時(shí)考查了利用函數(shù)的額單調(diào)性求解函數(shù)的值域問題．屬于中檔題．