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8.已知函數(shù)f(x)=ex-ex,g(x)=2ax+a,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)求證:f(x)≥0;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范圍;
(3)若對任意的x∈(-∞,-1),f(x)≥g(x)恒成立,求a的最小值.

分析 (1)判斷f(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出f(x)的最小值,即可得出結(jié)論;
(2)令f(x)=g(x),分離參數(shù)得a=exex2x+1,求出右側(cè)函數(shù)的值域即為a的范圍;
(3)令f(x)≥g(x),分離參數(shù)得a≥exex2x+1,則右側(cè)函數(shù)在(-∞,-1)上的最大值為a的最小值.

解答 解:(1)f′(x)=ex-e,
∴當(dāng)x>1時,f′(x)>0,當(dāng)x<1時,f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=0,
∴f(x)≥0.
(2)令f(x)=g(x)得a=exex2x+1
設(shè)h(x)=exex2x+1,則h′(x)=ex2x12x+12,
∴當(dāng)x>12時,h′(x)>0,當(dāng)x<12時,h′(x)<0,
∴h(x)在(-∞,12)上是減函數(shù),在(12,+∞)上是增函數(shù),
x12limh(x)=-∞,xlimh(x)=-e2,h(1)=0,x12+limh(x)=+∞,x+limh(x)=+∞.
∵存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),∴a=exex2x+1有解.
∴a≥0或a<-e2
(3)∵當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)≥g(x)恒成立,即ex-ex≥a(2x+1)在(-∞,-1)上恒成立,
∴a≥exex2x+1在(-∞,-1)上恒成立.
由(2)可知h(x)=exex2x+1在(-∞,-1)上是減函數(shù),
xlimh(x)=-e2
∴a≥-e2
即a的最小值為-e2

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,函數(shù)最值的計(jì)算,屬于中檔題.

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