Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-ex，g（x）=2ax+a，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）求證：f（x）≥0；
（2）若存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），求a的取值范圍；
（3）若對任意的x∈（-∞，-1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出f（x）的最小值，即可得出結(jié)論；
（2）令f（x）=g（x），分離參數(shù)得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，求出右側(cè)函數(shù)的值域即為a的范圍；
（3）令f（x）≥g（x），分離參數(shù)得a≥$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，則右側(cè)函數(shù)在（-∞，-1）上的最大值為a的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-e，
∴當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）≥0．
（2）令f（x）=g（x）得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{（2x+1）^{2}}$，
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，h′（x）＞0，當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
∵$\underset{lim}{x→-\frac{1}{2}-}$h（x）=-∞，$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=-$\frac{e}{2}$，h（1）=0，$\underset{lim}{x→-\frac{1}{2}+}$h（x）=+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$h（x）=+∞．
∵存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），∴a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$有解．
∴a≥0或a＜-$\frac{e}{2}$．
（3）∵當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ex≥a（2x+1）在（-∞，-1）上恒成立，
∴a≥$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上恒成立．
由（2）可知h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
且$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=-$\frac{e}{2}$，
∴a≥-$\frac{e}{2}$．
即a的最小值為-$\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．