Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，a_n＞0，知a₁=1.，即，由此能求出a₂=2．
（Ⅱ）由得，a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，故a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，由此得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，由此能夠?qū)С鯽_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n，所以a_n+1-a_n=1（n≥2），所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出其通項公式．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，有，由于a_n＞0，所以a₁=1
當(dāng)n=2時，有，即，將a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2
（Ⅱ）由得，a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²①
則有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n，所以a_n+1-a_n=1（n≥2），
由于a₂-a₁=1，即當(dāng)n≥1時都有a_n+1-a_n=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
故a_n=n
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的合理運用．