Question

12．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$
（1）求異面直線AD₁與BC所成角的大小
（2）求異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1））由AD∥BC，得∠D₁AD是異面直線AD₁與BC所成角，由此能求出異面直線AD₁與BC所成角．
（2）由AD₁∥BC₁，得∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成角，由此能求出異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∴∠D₁AD是異面直線AD₁與BC所成角，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$，
∴AD=1，DD₁=$\sqrt{3}$，tan∠D₁AD=$\frac{D{D}_{1}}{AD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D₁AD=60°，
∴異面直線AD₁與BC所成角為60°．
（2）∵AD₁∥BC₁，∴∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成角，
∵A₁B=$\sqrt{2+3}$=$\sqrt{5}$，BC₁=$\sqrt{1+3}$=2，A₁C₁=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠A₁BC₁=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{2×{A}_{1}B×B{C}_{1}}$=$\frac{5+4-3}{2×\sqrt{5}×4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．
∴異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．