【答案】
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件知a
2=2b
2,再由直線l:x-y+2=0與圓x
2+y
2=b
2相切,知
=b,由此可求出橢圓C
1的方程.
(Ⅱ)由MP=MF
2,知動點M到定直線l
1:x=-2的距離等于它到定點F
2(2,0)的距離,由此可求出點M的軌跡C
2的方程.
(Ⅲ)當直線AC的斜率存在且不為零時,設(shè)直線AC的斜率為k,A(x
1,y
1),C(x
2,y
2),則直線AC的方程為y=k(x-2),聯(lián)立
及y=k(x-2)得(1+2k
2)x
2-8k
2x+8k
2-8=0.然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進行求解.
解答:解:(Ⅰ)∵e=
,∴e
2=
,∴a
2=2b
2∵直線l:x-y+2=0與圓x
2+y
2=b
2相切
∴
=b,∴b=2,b
2=4,∴a
2=8,
∴橢圓C
1的方程是
(3分)
(Ⅱ)∵MP=MF
2,
∴動點M到定直線l
1:x=-2的距離等于它到定點F
2(2,0)的距離,
∴動點M的軌跡C是以l
1為準線,F(xiàn)
2為焦點的拋物線
∴點M的軌跡C
2的方程為y
2=8x(6分)
(Ⅲ)當直線AC的斜率存在且不為零時,設(shè)直線AC的斜率為k,
A(x
1,y
1),C(x
2,y
2),則直線AC的方程為y=k(x-2)
聯(lián)立
及y=k(x-2)得(1+2k
2)x
2-8k
2x+8k
2-8=0
所以x
1+x
2=
,x
1x
2=
|AC|=
=
=
.(8分)
由于直線BD的斜率為-
,用-
代換上式中的k可得|BD|=
∵AC⊥BD,
∴四邊形ABCD的面積為S=
|AC|•|BD|=
..(10分)
由(1+2k
2)(k
2+2)≤[
]
2=[
]
2所以S≥
,當1+2k
2=k
2+2時,即k=±1時取等號.(11分)
易知,當直線AC的斜率不存在或斜率為零時,四邊形ABCD的面積S=8
綜上可得,四邊形ABCD面積的最小值為
(12分)
點評:本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用,解題時要認真審題,注意韋達定理的合理運用.