【題目】如圖所示,游樂場中的摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每轉(zhuǎn)一圈需要6min,其中心O距離地面40.5m,摩天輪的半徑為40m,已知摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處,在時(shí)刻t(min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,﹣π<φ<0,t≥0).
(Ⅰ)求f(t)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)求證:f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.
【答案】解:(Ⅰ)由題意知:每轉(zhuǎn)一圈需要6min,摩天輪的半徑為40m,可得 = ,
其中心O距離地面40.5m,即h=40.5,φ=﹣ .
故函數(shù)f(t)的解析式:f(t)=40sin( )+40.5.
由 ,(k∈N)
解得:3+6k≤t≤6+6k.
故f(t)的單調(diào)減區(qū)間為[3+6k,6+6k],(k∈N)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(t)=40sin( )+40.5=40.5﹣40cos( )
∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=40.5×3﹣(40cos( )﹣40cos[ (t+2)]﹣40cos[ (t+4)]
=121.5﹣40cos ﹣40cos( )﹣40cos( ).
∵cos +cos( )+cos( )=cos ﹣ cos( )﹣ sin ﹣cos( )+ =0
∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=40.5×3=121.5
故得f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.
【解析】1、根據(jù)題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,求得 ω =,f(t)=40sin( t )+40.5,由整體思想代入到正弦函數(shù)的增區(qū)間可得3+6k≤t≤6+6k,即得單調(diào)增區(qū)間是[3+6k,6+6k],(k∈N)。
2、由題意可知f(t)+f(t+2)+f(t+4)整理可得121.5﹣40cos t ﹣40cos( t + )﹣40cos( t + ),提出-40整理式子可得cos t +cos( t + )+cos( t + )再利用兩角和差的余弦公式可得上式=0,代入原式f(t)+f(t+2)+f(t+4)=40.5×3=121.5
故得f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù)才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽,甲獲勝的概率為0.4,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率:先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),制定1,2,3,4表示甲獲勝,用5,6,7,8,9,0表示乙獲勝,再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表3局比賽的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了30組隨機(jī)數(shù)
102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350 481 337 286 139
579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047 008 341 287 114
據(jù)此估計(jì),這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知α∈(0, ),β∈(0, ),且滿足 cos2 + sin2 = + ,sin(2017π﹣α)= cos( π﹣β),則α+β= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為得到函數(shù)y=sin2x﹣cos2x的圖象,可由函數(shù)y= sin2x的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向右平移 個(gè)單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 =(x,1), =(4,﹣2).
(Ⅰ)當(dāng) ∥ 時(shí),求| + |;
(Ⅱ)若 與 所成角為鈍角,求x的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|a﹣1<x<a+1},B={x|x<﹣1或x>2}.
(1)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 : , 為 上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為 , , 是 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 .
(1)求過點(diǎn) ,且與 恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線 的方程;
(2)求證: 過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin2 .
(Ⅰ) 求角A的大;
(Ⅱ) 若b+c=2,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一共有10個(gè)班,編號1至10,某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個(gè)班作為樣本,現(xiàn)用抽簽法抽取樣本,每次抽取一個(gè)號碼,共抽3次,設(shè)五班第一次抽到的可能性為a,第二次被抽到的可能性為b,則( )
A.a= ,b=
B.a= ,b=
C.a= ,b=
D.a= ,b=
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