Question

已知函數(shù)f（x²-3）=lg

x2

x2-6

（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）整體代換的思路用換元法求解析式，設(shè)x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函數(shù)，求出f（t），即f（x）的表達(dá)式和定義域；
（2）運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，由對數(shù)函數(shù)y=lgm的單調(diào)性和m=1+

6

x-3

在x＞3上的單調(diào)性，即可得到單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）設(shè)x²-3=t，
則x²=t+3，故t≥-3，
則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得t＞3或t＜-3，又由t≥-3
則t＞3，
故f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞3}，
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定義域?yàn)閧x|x＞3}；
（2）f（x）=lg

x+3

x-3

=lg（1+

6

x-3

），
由m=1+

6

x-3

在x＞3上遞減，又y=lgm在m＞0上遞增，
則f（x）在x＞3上遞減．
即有f（x）的減區(qū)間為（3，+∞），無增區(qū)間．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性的求解，考查運(yùn)算能力，為中檔題．