Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求異面直線BA₁和CC₁的夾角是多少？
（2）求A₁B和平面CDA₁B₁所成的角？
（3）求平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（1）設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BA₁和CC₁的夾角．
（2）求出平面CDA₁B₁的法向量，利用向量法能求出A₁B和平面CDA₁B₁所成的角．
（3）求出平面CDA₁B₁的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大�。�

解答： 解：（1）設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B（1，1，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），
C₁（0，1，1），
∴

BA1

=（0，-1，1），

CC1

=（0，0，1），
∴cos＜

BA1

，

CC1

＞=

1

2

=

2

2

，
∴異面直線BA₁和CC₁的夾角是

π

4

．
（2）∵B（1，1，0），A₁（1，0，1），
C（0，1，0），D（0，0，0），
∴

A1B

=(0，1，-1)，

DC

=（0，1，0），

DA1

=（1，0，1），
設平面CDA₁B₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DC =y=0 n • DA1 =x+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-1），
設A₁B和平面CDA₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

A1 B

，

n

＞|=|

1

2 • 2

|=

1

2

，
∴A₁B和平面CDA₁B₁所成的角為

π

6

．
（3）∵平面CDA₁B₁的法向量

n

=(1，0，-1)，
平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
設平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的平面角為α，
則cosα=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

2

|=

2

2

，
∴平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角，平面與平面所成的角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．