Question

已知直線l與拋物線y²=4x交于A、B兩點，與準線交于C點，與x軸交于D（3，0）點，B在線段AC上，若|BC|：|AD|=1：3，求直線l的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），A點坐標為（x_A，y_A），B點坐標為（x_B，y_B），聯(lián)立拋物線方程，求出：x_A，x_B，由|BC|：|AD|=1：3，可得：（x_B+1）：（x_A-3）=1：3，解出k值，代入可得直線l的方程．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），A點坐標為（x_A，y_A），B點坐標為（x_B，y_B），
則由

y2=4x y=k(x-3)

得：k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，
解得：x_A=

3k2+2+2 3k2+1

k2

，x_B=

3k2+2-2 3k2+1

k2

，
∵|BC|：|AD|=1：3，
∴（x_B+1）：（x_A-3）=1：3，
即x_A-3x_B-6=0，
即

3k2+2+2 3k2+1

k2

-3×

3k2+2-2 3k2+1

k2

-6=0，
即

-12k2-4+8 3k2+1

k2

=0，
即-3k2-1+2

3k2+1

=0，
解得：k=±1，
故直線l的方程為：y=（x-3），或y=-（x-3），
即x-y-3=0，或x+y-3=0

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質(zhì)，直線的方程，是直線與圓錐曲線的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．