Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（0，2），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)N（2，0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓過點(diǎn)M（0，2），離心率e=

6

3

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，利用數(shù)量積大于0，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得b=2，

c

a

=

6

3

結(jié)合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
①當(dāng)x₁=x₂=2時(shí)，斜率不存在時(shí)，不妨令

OA

=(2，

2 6

3

)，

OB

=(2，-

2 6

3

)
∴

OA

•

OB

=4-

8

3

=

4

3

＞0，∠AOB為銳角成立 …（6分）
②當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）
由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

得x²+3k²（x-2）²=12
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-12

1+3k2

，…（8分）
∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

8k2

1+3k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

8k2-12

1+3k2

＞0                                 …（10分）
解得k＞

3

或k＜-

3

．…（12分）
綜上，直線l傾斜角的取值范圍是（

π

3

，

2π

3

）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．