已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一條漸近線方程數(shù)學(xué)公式，右焦點(diǎn)F（5，0），雙曲線的實(shí)軸為A1A2，P為雙曲線上一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P、A2P分別與直線l：數(shù)學(xué)公式交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）求證：數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式為定值．

解：（Ⅰ）依題意可設(shè)雙曲線方程為：，
則
∴所求雙曲線方程為

（Ⅱ）A1（-3，0）、A2（3，0）、F（5，0），設(shè)P（x，y），M（），
，，
∵A1、P、M三點(diǎn)共線，
∴∴即，
同理得，
，，
則
∵，
∴；
∴，即（定值）
分析：（Ⅰ）先設(shè)雙曲線方程為：，根據(jù)題意可得關(guān)于a、b的方程組，解可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得A1、A2、F的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y）、M（），易得向量，，又由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得N的坐標(biāo)，
由此可得：與的坐標(biāo)，即可得；結(jié)合雙曲線的方程，代換可得證明．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，（Ⅱ）的證明運(yùn)用了坐標(biāo)法，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，是典型的解析幾何方法，需要加強(qiáng)訓(xùn)練．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-
5
，0)和F2(
5
，0)，P在雙曲線上，滿足
PF1
•
PF2
=0且△F1PF2的面積為1，則此雙曲線的方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為
6
2
.
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，
3
)，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若
OF
•
FP
=(
6
3
-1)c2，當(dāng)|
OP
|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(diǎn)P（4，-
10
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：
MF1
•
MF2
=0；
（3）求△F1MF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，準(zhǔn)線方程為x=±
1
2
，漸近線為y=±
3
x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的弦PQ垂直于x軸，求直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為α，且
π
4
＜α＜
π
3
，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）
A、(1，
2
)
B、(
2
，2)
C、（1，2）
D、(2，2
2
)

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