函數(shù)y=f(x)是定義在a,b上的增函數(shù),其中a,b∈R且0<b<-a,已知y=f(x)無零點(diǎn),設(shè)函數(shù)F(x)=f2(x)+f2(-x),則對(duì)于F(x)有以下四個(gè)說法:
①定義域是[-b,b];②是偶函數(shù);③最小值是0;④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
其中正確的有
①②
①②
(填入你認(rèn)為正確的所有序號(hào))
分析:根據(jù)題意,依次分析4個(gè)命題:對(duì)于①,根據(jù)F(x)的解析式以及f(x)的定義域,可得a≤x≤b,a≤-x≤b,又由0<b<-a,可得F(x)定義域,可得①正確;對(duì)于②,先求出F(-x),可得F(-x)=F(x),再結(jié)合F(x)的其定義域,可得F(x)為偶函數(shù),②正確;對(duì)于③,舉出反例,當(dāng)f(x)>1時(shí),可得F(x)的最小值不是0,故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④,由于F(x)是偶函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì),可得④錯(cuò)誤;綜合可得答案.
解答:解:根據(jù)題意,依次分析4個(gè)命題:
對(duì)于①,對(duì)于F(x)=f2(x)+f2(-x),有a≤x≤b,a≤-x≤b,
而又由0<b<-a,則F(x)=f2(x)+f2(-x)中,x的取值范圍是-b≤x≤b,即其定義域是[-b,b],則①正確;
對(duì)于②,F(xiàn)(-x)=f2(-x)+f2(x)=F(x),且其定義域?yàn)閇-b,b],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
則F(x)為偶函數(shù),②正確;
對(duì)于③,由y=f(x)無零點(diǎn),假設(shè)f(x)=2x,F(xiàn)(x)=22x+2-2x=22x+
1
22x
≥2,其最小值為2,故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④,由于F(x)是偶函數(shù),則F(x)在[-b,0]上與[0,b]上的單調(diào)性相反,故F(x)在其定義域內(nèi)不會(huì)單調(diào)遞增,④錯(cuò)誤;
故答案為①②.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的性質(zhì),涉及函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值等性質(zhì),判斷②時(shí),注意要結(jié)合函數(shù)F(x)的定義域.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)
的圖象過點(diǎn)(0,-1)且與直線y=-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn);設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和直線x=1的垂線,垂足分別是M,N.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心Q;
(3)證明:線段PM,PN長(zhǎng)度的乘積PM•PN為定值;并用點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0表示四邊形QMPN的面積..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超過6元,則每提高1元,租不出去的自行車就增加3輛.
規(guī)定:每輛自行車的日租金不超過20元,每輛自行車的日租金x元只取整數(shù),并要求出租所有自行車一日的總收入必須超過一日的管理費(fèi)用,用y表示出租所有自行車的日凈收入(即一日中出租所有自行車的總收入減去管理費(fèi)后的所得).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式及定義域;
(2)試問日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元?日凈收入最多為多少元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知:射線OA為y=kx(k>0,x>0),射線OB為y=-kx(x>0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在∠AOx的內(nèi)部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四邊形ONPM的面積恰為k.
(1)當(dāng)k為定值時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù),求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)根據(jù)k的取值范圍,確定y=f(x)的定義域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

關(guān)于函數(shù)y=f(x),有下列命題:
①若a∈[-2,2],則函數(shù)f(x)=
x2+ax+1
的定域?yàn)镽;
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)
,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,
3
2
)

③(理)若f(x)=
1
x2-x-2
,則
lim
x→2
[(x-2)f(x)]=0

(文)若f(x)=
1
x2-x-2
,則值域是(-∞,0)∪(0,+∞)
④定義在R的函數(shù)f(x),且對(duì)任意的x∈R都有:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),則4是y=f(x)的一個(gè)周期.
其中真命題的編號(hào)是
 
.(文理相同)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某服裝批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)營的某種服裝,進(jìn)貨成本40元/件,對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件.該商場(chǎng)為了鼓勵(lì)購買者大批量購買,推出優(yōu)惠政策:一次購買不超過50件時(shí),只享受批發(fā)價(jià);一次購買超過50件時(shí),每多購買1件,購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上,再降低0.1元/件,但最低價(jià)不低于50元/件.
(Ⅰ)問一次購買150件時(shí),每件商品售價(jià)是多少?
(Ⅱ)問一次購買200件時(shí),每件商品售價(jià)是多少?
(Ⅲ)設(shè)購買者一次購買x件,商場(chǎng)的售價(jià)為y元,試寫出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式.

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