Question

遞增等比數(shù)列{a_n}中a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)：
（Ⅰ）求S_n及a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=•+，{b_n}的前n項(xiàng)和為Tn，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出公比q，利用S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)，求出q，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和即可求S_n及a_n；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），求出數(shù)列{b_n}滿足b_n=•+的表達(dá)式，通過(guò)裂項(xiàng)法直接求{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，然后利用基本不等式求的最小值．
解答：解（Ⅰ）設(shè)公比為q   S₂是a₂，a₃的等差中項(xiàng)，所以2S₂=a₂+a₃，
⇒4（1+q）=2q+2q²，q=2，
∴a_n=2ⁿ，
S_n==2ⁿ⁺¹-2．…（6分）
（Ⅱ）b_n=•+
=+
=，
b_n==，
∴T_n=
=，
∴===，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)等號(hào)成立．…．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和的常用方法--裂項(xiàng)法，基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式中等號(hào)成立的條件．