Question

在正方形紙片ABCD的四邊AB、AD、CD、CB上分別取點(diǎn)E、F、G、H, 使AE:EB＝AF:FD＝CG:GD＝CH:HB＝1: 2. 把紙片沿對(duì)角線折起, 成為一個(gè)二面角. 當(dāng)二面角A-BD-C是_______度時(shí), EFGH是正方形.

Answer 1

答案：60
解析：

解: 如圖, 取BD的中點(diǎn)K, 連結(jié)AK、CK、AC.  由  AE: AB＝AF: FD, 得  EF∥BD, 同理HG∥BD. 所以EF∥HG. 同理可證EH∥AC∥FG. 所以EFGH是平行四邊形. 進(jìn)而, 從AB＝AD, BK＝KD, 得BD⊥AK.  同理BD⊥CK.所以BD⊥平面AKC, 由此得BD⊥AC. 因而EF⊥EH, 所以平行四邊形EFGH是矩形. 記AB＝a, ∠AKC＝θ, 則θ就是二面角A-BD-C的平面角. 又因?yàn)槲凑燮饡r(shí)ABCD是正方形, 所以BD＝a, AK＝KC＝a 從等腰三角形KAC得 又從AE:AB＝AF:AD＝1:3, 得△AEF∽△ABD, 因而EF:BD＝AE:AB. 由此得 EF＝BD＝a. ① 同理由BE:BA＝BH:BC＝2:3, 得 為了使矩形EFGH成為正方形, 必須且只須EF＝EH. 將①式和②式代入, 得

提示：

EFGH是矩形.