Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)A（$\sqrt{2}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q，R橢圓上三點(diǎn)，OQ與PR交于M點(diǎn)，且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OM}$，當(dāng)PR中點(diǎn)恰為點(diǎn)M時(shí)，判斷△OPR的面積是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過(guò)A（$\sqrt{2}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）若Q是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則Q（$\sqrt{2}$，0），△OPR的面積為$\frac{4}{9}$；若Q不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)PR：y=kx+m（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式能求出△OPR的面積為常數(shù)$\frac{4}{9}$．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)A（$\sqrt{2}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）①若Q是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則Q（$\sqrt{2}$，0），
∵$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OM}$，M在線段OQ上，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），|PR|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴△OPR的面積S_△OPR=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{9}$．
②若Q不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)PR：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
${{x}_{1}}^{\;}+{{x}_{2}}^{\;}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
PR的中點(diǎn)M（-$\frac{2km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$），
Q（-$\frac{6km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{3m}{2{k}^{2}+1}$），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得2k²+1=9m²．
|PR|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{9|m|}$．
∵點(diǎn)O到PR的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OPR的面積S_△OPR=$\frac{1}{2}|PR|$•d=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{9|m|}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{9}$．
綜上，△OPR面積為常數(shù)$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積是否為常數(shù)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．