對函數(shù)f（x）=xsinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上單調(diào)遞增，在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上單調(diào)遞減．
其中是真命題的是 ________（寫出所有真命題的序號）．

①④
分析：本題中①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來證明之；②研究的是函數(shù)的周期性，利用周期性定義證明之；③研究的是函數(shù)的圖象對稱性，可以利用對稱性的性質(zhì)來證明；④研究函數(shù)的單調(diào)性，可用兩個函數(shù)相乘時單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷．
解答：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)①正確；
對于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，②不正確；
對于③，由于f（）+f（）=-=-π≠0故點（π，0）不是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心，故③不正確；
對于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間上f'（x）＞0，在區(qū)間上f'（x）＜0，由此知函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確．
故答案為：①④
點評：本題考點是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準(zhǔn)確運用相應(yīng)的知識準(zhǔn)確解題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)生對函數(shù)f（x）=xsinx結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在[-
π
2
，
π
2
]單調(diào)；
②存在常數(shù)M＞0，使f（x）≤M成立；
③函數(shù)f（x）在（0，π）上無最小值，但一定有最大值；
④點（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)生對函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究，得出如下四個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上單調(diào)遞增；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立；
③函數(shù)f（x）在（0，π）無最小值，但一定有最大值；
④點（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心．
其中正確的是（　　）
A、③B、②③C、②④D、①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②對任意實數(shù)x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中所有正確結(jié)論的序號是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•南京三模）對函數(shù)f（x）=xsinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-
π
2
，0]上單調(diào)遞減．
其中是真命題的是
①④
①④
（寫出所有真命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年江蘇省四星高中高三數(shù)學(xué)小題訓(xùn)練（4）（解析版） 題型：解答題

對函數(shù)f（x）=xsinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
其中是真命題的是     （寫出所有真命題的序號）．

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