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4.已知拋物線y2=2px的焦點F(1,0),過F作直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,如圖所示,A在x軸上方.
(1)若|AB|=8時,求直線l的傾斜角;
(2)設(shè)P(-1,0),求證:∠APQ=∠CPQ;
(3)設(shè)Q(2,0),AQ的延長線交拋物線于C,設(shè)BC的中點為D,當(dāng)直線DF在y軸上的截距為m,且m∈(0,+∞),求y1取值范圍.

分析 (1)設(shè)l:y=k(x-1),與y2=4x,消去x得y24ky4=0,由韋達(dá)定理和橢圓弦長公式能求出直線l的方程.
(2)由yAyB=-4,和得kPA+kPB=0,證明直線PA,PB的斜率之和為0,由此能證明:∠APQ=∠CPQ.
(3)由(1)得C(16yA28yA),B(4yA24yA),從而D(10yA26yA),DF:y=6yAyA210(x-1),由此能求出y1取值范圍.

解答 (1)解:拋物線y2=2px的焦點F(1,0),拋物線的方程為y2=4x
由直線與拋物線有兩個不同交點知直線l的斜率不為零,
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時,設(shè)l:y=k(x-1),
與y2=4x,消去x得y24ky4=0,
∴yAyB=-4,yA+yB=4k,
當(dāng)l斜率不存在時,yAyB=-4,∴yAyB=-4,
|AB|=1+1k2|y1-y2|=8,
解得k=±1,
∴直線l的方程為:y=x-1或y=-x+1,直線l的傾斜角為45°或135°.
(2)證明:∵yAyB=-4,
∴kPA+kPB=yAxA+1+yBxB+1=yA+yB1+yAyB4xA+1xB+1=0,
∴直線PA,PB的斜率之和為0,
∴∠APQ=∠CPQ;
(3)解:由(1)得C(16yA28yA),B(4yA24yA),
∴D(10yA26yA),∴DF:y=6yAyA210(x-1),
令x=0,得-6yAyA210∈(0,+∞),∴yA∈(-∞,-4)∪(0,4),
∴yA取值范圍是(-∞,-4)∪(0,4),即y1取值范圍是(-∞,-4)∪(0,4).

點評 本題考查直線方程的求法,考查角相等的證明,考查點的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法,難度大.

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