分析 (1)設(shè)l:y=k(x-1),與y2=4x,消去x得y2−4ky−4=0,由韋達(dá)定理和橢圓弦長公式能求出直線l的方程.
(2)由yAyB=-4,和得kPA+kPB=0,證明直線PA,PB的斜率之和為0,由此能證明:∠APQ=∠CPQ.
(3)由(1)得C(16yA2,−8yA),B(4yA2,−4yA),從而D(10yA2,−6yA),DF:y=6yAyA2−10(x-1),由此能求出y1取值范圍.
解答 (1)解:拋物線y2=2px的焦點F(1,0),拋物線的方程為y2=4x
由直線與拋物線有兩個不同交點知直線l的斜率不為零,
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時,設(shè)l:y=k(x-1),
與y2=4x,消去x得y2−4ky−4=0,
∴yAyB=-4,yA+yB=4k,
當(dāng)l斜率不存在時,yAyB=-4,∴yAyB=-4,
|AB|=√1+1k2|y1-y2|=8,
解得k=±1,
∴直線l的方程為:y=x-1或y=-x+1,直線l的傾斜角為45°或135°.
(2)證明:∵yAyB=-4,
∴kPA+kPB=yAxA+1+yBxB+1=(yA+yB)(1+yAyB4)(xA+1)(xB+1)=0,
∴直線PA,PB的斜率之和為0,
∴∠APQ=∠CPQ;
(3)解:由(1)得C(16yA2,−8yA),B(4yA2,−4yA),
∴D(10yA2,−6yA),∴DF:y=6yAyA2−10(x-1),
令x=0,得-6yAyA2−10∈(0,+∞),∴yA∈(-∞,-4)∪(0,4),
∴yA取值范圍是(-∞,-4)∪(0,4),即y1取值范圍是(-∞,-4)∪(0,4).
點評 本題考查直線方程的求法,考查角相等的證明,考查點的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法,難度大.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,0) | B. | (-∞,1) | C. | (-1,0)∪(0,3) | D. | (-∞,0)∪(0,1) |
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A. | √5 | B. | √52 | C. | √32 | D. | √3 |
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A. | ?x∉(-1,+∞),ln(x+1)<x | B. | ?x0∉(-1,+∞),ln(x0+1)<x0 | ||
C. | ?x∈(-1,+∞),ln(x+1)≥x | D. | ?x0∈(-1,+∞),ln(x0+1)≥x0 |
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A. | √52 | B. | √2 | C. | √103 | D. | √5+1 |
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