Question

8．已知a+b（a＞0，b＞0）是函數(shù)f（x）=-x+30-3a的零點，則使得$\frac{1}{a}+\frac{1}$取得最小值的有序?qū)崝?shù)對（a，b）是 �。ā　。�

• A． （10，5）
• B． （7，2）
• C． （6，6）
• D． （5，10）

Answer 1

分析 a+b（a＞0，b＞0）是函數(shù)f（x）=-x+30-3a的零點，可得：-（a+b）+30-3a=0，化為：4a+b=30．則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}+\frac{a}）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a+b（a＞0，b＞0）是函數(shù)f（x）=-x+30-3a的零點，∴-（a+b）+30-3a=0，化為：4a+b=30．
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}+\frac{a}）$≥$\frac{1}{30}（5+2\sqrt{\frac{4a}•\frac{a}}）$=$\frac{1}{30}（5+4）$=$\frac{3}{10}$，當且僅當b=2a=10時取等號．
取得最小值的有序?qū)崝?shù)對（a，b）是（5，10）．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．