Question

某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價(jià)為x元（x＞6），年銷量為u萬(wàn)件，若已知

585

8

-u與(x-

21

4

)2成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件．
（1）求年銷售利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤(rùn)最大，并求出最大年利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中條件：“若已知

585

8

-u與(x-

21

4

)2成正比”可設(shè)

585

8

-u=k(x-

21

4

)2，再依據(jù)售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件求得k值，從而得出年銷售利潤(rùn)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，先求出y的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)y′＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，y′＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，從而求出極值進(jìn)而得出最值即可．

解答：解：（1）設(shè)

585

8

-u=k(x-

21

4

)2，
∵售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬(wàn)件；
∴

585

8

-28=k(10-

21

4

)2，解得k=2．
∴u=-2(x-

21

4

)2+

585

8

=-2x²+21x+18．
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108．
（2）y'=-6x²+66x-108=-6（x²-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
顯然，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，y'＞0當(dāng)x∈（9，+∞）時(shí)，y'＜0
∴函數(shù)y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上是關(guān)于x的增函數(shù)；
在（9，+∞）上是關(guān)于x的減函數(shù)．
∴當(dāng)x=9時(shí)，y取最大值，且y_max=135．
∴售價(jià)為9元時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．屬于基礎(chǔ)題．