Question

已知四邊形PABC為空間四邊形，∠PCA=90°，△ABC是邊長為的正三角形，PC=2，D、E分別是PA、AC的中點，BD=.試判斷直線AC與平面BDE的位置關(guān)系，并且求出二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

解：∵D、E分別是PA、AC的中點，

∴DE∥PC且DE=PC=1.

∵∠PCA=90°,∴AC⊥DE.

∵△ABC是邊長為的正三角形，并且E是AC的中點，

∴AC⊥BE，并且BE=3.

∵DE∩BE=E，∴直線AC與平面DEB垂直.

∴∠DEB為二面角P-AC-B的平面角.

在△BDE中，由DE=1，BE=3，BD=得DE²+BE²=BD²，∴∠DEB=90°.

綜上所述，直線AC與平面BDE垂直，二面角P-AC-B的大小為90°.

【規(guī)律總結(jié)】 與二面角的棱垂直的平面和二面角的兩個面相交的兩條射線構(gòu)成的角就是這個二面角的平面角.利用作與棱垂直的平面得到二面角的方法稱為“垂面法”.