Question

如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C為圓上任意一點，過C的切線分別與過A、B兩點的切線交于P、Q.

求證：AB²＝4AP·BQ.

Answer 1

見解析

證明　法一　連接OP、OQ，如圖所示．

∵AP、PQ、BQ為⊙O的切線，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ為⊙O的切線，
AB為直徑，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴＝.
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB²＝4AP·BQ.
法二　連接OC.
同上可證得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC²＝PC·CQ，
利用切線長定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC²＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB²＝4AP·BQ.
法三　如圖所示，過P作BQ的垂線PD，垂足為D.

∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四邊形ABDP為矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²＝PD²＋QD²，
∴(AP＋BQ)²＝AB²＋(BQ－AP)².
∴4AP·BQ＝AB².