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2.已知變量x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y-25≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$;
(1)設z=4x-3y,求z的最大值;
(2)設z=$\frac{y}{x}$,求z的最小值;
(3)設z=x2+y2,求z的取值范圍.

分析 (1)平移直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$,利用直線截距和z的關系進行求解.
(2)z=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的斜率,利用斜率關系進行求解.
(3)z=x2+y2的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的距離的平方,利用距離進行求解.

解答 解:(1)由z=4x-3y得y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$,
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖(陰影部分ABC):
平移直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$,由圖象可知當直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$,過點A時,直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$截距最小,此時z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$,即A(5,2),
代入目標函數z=4x-3y,
得z=4×5-3×2=20-6=14.
∴目標函數z=4x-3y的最大值是14.
(2)z=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的斜率,由圖象知OA的斜率最小,
此時z=$\frac{2}{5}$.
(3)z=x2+y2的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的距離的平方,
由圖象知OA的距離最大,此時最大值為z=z=52+22=25+4=29,
OC的距離最小,由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$,即C(1,1),
此時最小值z=12+12=2,
故2≤z≤29.

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,涉及直線的截距,直線的斜率以及兩點間的距離,利用數形結合以及目標函數的幾何意義是解決本題的關鍵.

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