(本題滿分14分)

如圖,已知正三棱柱的底面邊長是,是側(cè)棱的中點(diǎn),直線與側(cè)面所成的角為

     (Ⅰ)求此正三棱柱的側(cè)棱長;

(Ⅱ) 求二面角的大小;

(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.

(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為.取中點(diǎn),連

是正三角形,

又底面側(cè)面,且交線為

側(cè)面

,則直線與側(cè)面所成的角為.   ……………2分

中,,解得.       …………3分

此正三棱柱的側(cè)棱長為.                         ……………………4分

 注:也可用向量法求側(cè)棱長.

(Ⅱ)解法1:過,連,

側(cè)面

為二面角的平面角.           ……………………………6分

中,,又

, 

中,.               …………………………8分

故二面角的大小為.               …………………………9分

解法2:(向量法,見后)

(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,平面,平面平面,且交線為,則平面.                      …………10分

中,.         …………12分

中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離為.       …………14分

解法2:(思路)取中點(diǎn),連,由,易得平面平面,且交線為.過點(diǎn),則的長為點(diǎn)到平面的距離.

解法3:(思路)等體積變換:由可求.

解法4:(向量法,見后)

題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:

(Ⅱ)解法2:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)為平面的法向量.

                                       …………6分

又平面的一個(gè)法向量                          …………7分

.   …………8分

結(jié)合圖形可知,二面角的大小為.         …………9分

(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,…………10分

點(diǎn)到平面的距離.14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
3
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設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z 滿足x+y+2z=6,求x2+y2+z2 的最小值,并求此時(shí)x,y,z 的值.

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(本題滿分14分)

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(2)已知點(diǎn),在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn),使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由。

 

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;如果沒有,請(qǐng)說明理由?(注:區(qū)間的長度為).

 

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