Question

設函數(shù)f（x）=a+

(-x2-4x)

和g（x）=

4x

3

+1，已知當x∈[-4，0]時，恒有f（x）≤g（x），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由f（x）≤g（x），變形得到

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a，由右邊大于等于0得到a≤

4x

3

+1，結合x的范圍得到a≤-

13

3

．然后把

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a兩邊平方得到
25x²+（70-24a）x+（1-a）²≥0．再由該不等式在x∈[-4，0]時恒成立列關于a的不等式組求得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）≤g（x），得a+

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1，
即

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a，①
由

4x

3

+1-a≥0，得a≤

4x

3

+1，
∵x∈[-4，0]，∴a≤-

13

3

．
把①式兩邊平方得，-x2-4x≤(

4x

3

+1-a)2，
即25x²+（70-24a）x+（1-a）²≥0．
要使當x∈[-4，0]時，上式恒成立，
則

a≤- 13 3 25×(-4)2+(70-24a)×(-4)+(1-a)2≥0

，解得a≤-

13

3

．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

13

3

]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了二次不等式在區(qū)間上恒成立的解決方法，是中檔題．