如圖所示,放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A1B1C1與正三棱錐B-ACD組成,其中,AB⊥BC,AB=,BB1=2.
(1)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦值;
(2)在線段AC1上是否存在點P,使B1P⊥平面ACD?若存在,確定點P的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)以點B為原點,分別以BC、BB1、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的法向量,進而可利用夾角公式求出直線CA1與平面ACD所成角的正弦;
(2)假設(shè)存在,令=m=(m,2m,-m),利用,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,AB⊥平面BB1C1C,CD?平面BB1C1C,
∴D,B,B1三點共線,
∵三棱錐是正三棱錐,
∴AB=BC=BD,
以點B為坐標(biāo)原點,射線BC,BB1,BA分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,),C(,0,0),D(0,-,0),B1(0,2,0),C1,2,0),A1(0,2,
設(shè)直線CA1與平面ACD所成角為θ
∵△ACD的重心G(),∴=(),
∴取=(1,-1,1)為平面ACD的法向量
=(-,2,),
∴取=為直線CA1的方向向量
∴sinθ=|cos<>|===;
(2)令=m=(m,2m,-m),
=
,∴
,無解
∴不存在滿足條件的點P.
點評:本題以組合體為載體,考查線面角,考查線面垂直,關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.
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4
2
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2
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