Question

已知函數(shù) f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，可得f′（1）=-1，f（1）=-2，從而可得切線方程；令f′(x)=

1

x

-2＞0，得0＜x＜

1

2

；令f′(x)=

1

x

-2＜0，得x＞

1

2

，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論：①當

1

a

≤1，即a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)；②當

1

a

≥2，即a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；③當1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，函數(shù)f（x）在[1，

1

a

]上是增函數(shù)，在[

1

a

，2]是減函數(shù)，比較f（2）與f（1）的大小，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）求導函數(shù)，可得f′(x)=

1

x

-2（x＞0），則f′（1）=-1，f（1）=-2
∴切線方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
f′(x)=

1

x

-2（x＞0），
令f′(x)=

1

x

-2＞0，得0＜x＜

1

2

；令f′(x)=

1

x

-2＜0，得x＞

1

2

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，單調(diào)減區(qū)間是[

1

2

，+∞)．
（2）①當

1

a

≤1，即a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②當

1

a

≥2，即a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③當1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，函數(shù)f（x）在[1，

1

a

]上是增函數(shù)，在[

1

a

，2]是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當

1

2

＜a＜ln2時，最小值是f（1）=-a；
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a．
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當a≥ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．
即g(a)=

-a，…0＜a＜ln2 ln2-2a，…a≥ln2

（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導，合理分類．