Question

（2014•上海二模）已知：函數(shù)f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，

（1）求：函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是，

當(dāng)x=﹣時(shí)，函數(shù)有極大值為5+4，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有極小值為5﹣4

（2）

（3）k≤﹣3．

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，再列表判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)左正右負(fù)時(shí)有極大值，當(dāng)左負(fù)右正時(shí)有極小值，且在某區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，此區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間，在某區(qū)間導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，此區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間．

（2）由（1）知函數(shù)f（x）的大致圖象，然后將關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，轉(zhuǎn)化為y=f（x）圖象與直線y=a有3個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

（3）先將f（x）≥k（x﹣1）恒成立，轉(zhuǎn)化為k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可

【解析】
（1）求函數(shù)f（x）=x3﹣6x+5的導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3（x2﹣2），

令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，

列表討論f′（x）的符號(hào)，得

x
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是，

當(dāng)x=﹣時(shí)，函數(shù)有極大值為5+4，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有極小值為5﹣4

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖：

若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，即y=f（x）圖象與直線y=a有3個(gè)不同交點(diǎn)，

由圖數(shù)形結(jié)合可得

（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．

∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，

令，則g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

∴g（x）＞g（1）=﹣3，

∴k≤﹣3．