Question

15．已知A，B是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，連接PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1于點(diǎn)Q，如果設(shè)直線PA，PB，QA的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k₁+k₂=-$\frac{15}{8}$，假設(shè)k₂＞0，則k₃的值為2．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1可得兩個(gè)頂點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y²₀=1，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4}$=${{y}_{0}}^{2}$，于是k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$$+\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，．同理設(shè)Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．，得到k_QA+k_QB=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由k_PA+k_PB=-$\frac{15}{8}$，可得k_QA+k_QB=$\frac{15}{8}$．又k_QA•k_QB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，聯(lián)立解得k_QA．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得兩個(gè)頂點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y²₀=1，
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4}$=${{y}_{0}}^{2}$，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$$+\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，．
同理，設(shè)Q（x₁，y₁），
由k_OP=k_OQ得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．，
∴k_QA+k_QB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$=$-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵k_PA+k_PB=-$\frac{15}{8}$，∴k_QA+k_QB=$\frac{15}{8}$…①
又k_QA•k_QB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$…②
聯(lián)立①②解得k₃=k_QA=2＞0．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，考查橢圓的第三定義，考查學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．