Question

已知三棱錐A-BCD及其三視圖如圖所示．
（I）若DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，求證：AC⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三視圖可知三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為1，每個(gè)側(cè)面都是直角三角形，且棱錐的高AD=2，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可以證得AC⊥DE，又DF⊥AC，則可得到線面垂直；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠DFE為二面角B-AC-D的平面角，分別在直角三角形ADB和直角三角形ADC中求出斜邊上的高DE、DF，則二面角B-AC-D的大小可求．
解答：（I）證明：由三視圖可得，三棱錐A-BCD中
∠ADB，∠ADC，∠DBC，∠ABC都等于90°，
每個(gè)面都是直角三角形；
如圖，

可得CB⊥面ADB，所以CB⊥DE，
又DE⊥AB，AB∩BC=B，所以DE⊥面ABC，
而AC?面ABC，所以DE⊥AC，
又DF⊥AC，DE∩DF=D，所以AC⊥面DEF．
（II）解：由（I）知∠DFE為二面角B-AC-D的平面角，
在直角三角形ADB中，由AD=2，DB=1，所以AB=，
所以
在直角三角形DBC中，因?yàn)镈B=BC=1，所以DC=，在直角三角形ADC中，
AD=2，DC=，所以AC=，
所以
在直角三角形DEF中，
∴．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查了二面角的求法，考查了三視圖，解答此題的關(guān)鍵是能根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)得到原幾何體中量的關(guān)系，是中檔題．