Question

已知定義域為R的函數f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數定義，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出關于a、b的方程組并解之得a=b=1；
（2）根據函數單調性的定義，任取實數x₁、x₂，通過作差因式分解可證出：當x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即得函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（3）根據函數的單調性和奇偶性，將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為：k＜3t²-2t對任意的t∈R都成立，結合二次函數的圖象與性質，可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2 +a

，解之得a=1
經檢驗當a=1且b=1時，f（x）=

1-2x

2x+1

，滿足f（-x）=-f（x）是奇函數．    …（4分）
（2）由（1）得f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
任取實數x₁、x₂，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；     …（8分）
（3）根據（1）（2）知，函數f（x）是奇函數且在（-∞，+∞）上為減函數．
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
也就是：t²-2t＞-2t²+k對任意的t∈R都成立．
變量分離，得k＜3t²-2t對任意的t∈R都成立，
∵3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，當t=

1

3

時有最小值為-

1

3

∴k＜-

1

3

，即k的范圍是（∞，-

1

3

）．                                  …（12分）

點評：本題以含有指數式的分式函數為例，研究了函數的單調性和奇偶性，并且用之解關于x的不等式，考查了基本初等函數的簡單性質及其應用，屬于中檔題．