設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且2
F1F2
+
F2Q
=0．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A、Q、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，0），求△PMN面積的最大值．
分析：（1）欲求橢圓C的離心率，只需得到關(guān)于a，c的齊次式，由
F2A
⊥
A Q
，2
F1F2
+
F2Q
=0，以及b2=a2-c2，就可得到a，c的齊次式，求出橢圓C的離心率．
（2）帶著參數(shù)求出過(guò)A、Q、F2三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，再根據(jù)圓恰好與直線x-
3
y-3=0相切，求出參數(shù)的值，
就可得到橢圓C的方程．
（3）設(shè)直線MN的方程，欲（2）中求出的橢圓方程聯(lián)立，求出y1+y2，y1y2的值，就可得到|y1-y2|，而△PMN的面積可用=
1
2
|PF2|•|y1-y2|表示，再利用均值不等式求出最大值．
解答：解：（1）設(shè)Q（x0，0）．∵F2（c，0），A（0，b），∴
F2A
=（-c，b），
A Q
=（x0，-b）
∵
F2A
⊥
A Q
，∴-cx0-b2=0，故 x0=-
b2
c
，
又∵2
F1F2
+
F2Q
=0，∴F1為F2Q的中點(diǎn)，故-2c=-
b2
c
+c，即，b2=3c2=a2-c2，∴e=
c
a
=
1
2

（2）∵e=
c
a
=
1
2
，∴a=2c，b=
3
c，則F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，
3
c）
∴△AQF2的外接圓圓心（-c，0），半徑r=
1
2
|F2Q|=a=2c
∴
|-c-3|
2
=2c，解得c=1，∴a=2，b=
3

橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
（3）設(shè)直線MN：x=my+1，代入
x2
4
+
y2
3
=1，得，（3m2+4）y2+6my-9=0
設(shè)M（x1，y1），n（x2，y2），∴y1+y2=-
6m
3m2+4
，y1y2=-
9
3m2+4
，
|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
4
3
3m2+3
3m2+4

∴S△PMN=
1
2
|PF2|•|y1-y2|=
6
3
3m2+3
3m2+4
，
令
3m2+3
=λ≥
3
，
∴S△PMN=
6
3
λ
λ2+1
=
6
3
λ+
1
λ
≤
6
3
3
λ+
1
3
λ
=
9
2

∴△PMN面積的最大值為
9
2
，此時(shí)，m=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓離心率，方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，注意設(shè)而不求思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案