Question

已知函數(shù)，它在原點處的切線恰為x軸．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，f（x）＞0；
（3）證明：．

Answer 1

解：（1）由題意得，
f′（x）=-，
由于函數(shù)在原點處的切線恰為x軸．
∴f′（0）=0，即1-=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-，
（2）當(dāng)x≥0時，f′（x）=，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=0，
即當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時，ln（1+x）＞，
∴l(xiāng)n2＞，ln3＞，ln4＞，…，lnn＞，（n≥2），
以上各式相乘，得，
從而結(jié)論成立．
分析：（1）先根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（0）=0，從而求出a值，最后寫出f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x≥0時，f′（x）=，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0，即可證得結(jié)論；
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時，ln（1+x）＞，分別令x=1，2，3，…，n．得到n個不等關(guān)系，再將以上各式相乘即得．
點評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．